ИТО
 Министерство образования и науки Российской Федерации 
Автономная некоммерческая организация «Информационные технологии в образовании» 
    Министерство образования и науки Республики Марий Эл 
ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет»
ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет» 
АНО ВПО «Межрегиональный открытый социальный институт» 
ГБОУ ДПО (ПК) С «Марийский институт образования» 
ГБУ Республики Марий Эл «Республиканский государственный центр
аттестациии контроля качества образования» 
   X Всероссийская научно-практическая конференция
«Применение информационно-коммуникационных технологий в образовании» 
 «ИТО-Марий Эл-2013»

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И КОГОМОЛОГИИ НА ТРЕХМЕРНЫХ ПСЕВДОРИМАНОВЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ



Автор: Можей Наталья Павловна, Кандидат физико-математических наук, Доцент
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Работа посвящена описанию трехмерных псевдоримановых однородных пространств и когомо-логий, геодезических на них с использованием пакета Maple. Приведена классификация псевдоримановых однородных пространств с разрешимой группой преобразований, что эквивалентно описанию эффективных пар алгебр Ли, допускающих инвариантную невырожденную билинейную форму на изотропном модуле. Использован алгебраический подход к описанию когомологий, применен аппарат теории групп и алгебр Ли, а также однородных пространств.

 

Работа посвящена нахождению геодезических и когомологий на трехмерных псевдоримановых однородных пространствах с использованием пакета Maple. Рассматриваемая тема имеет многочисленные приложения в механике, оптике, теории поля для моделирования динамических систем на римановых многообразиях [1]. Изучение геодезических сопряжено с необходимостью исследования систем дифференциальных уравнений, что вынуждает прибегать к компьютерным методам исследования, в частности, к системе Maple.Вначале получена локальная классификация трехмерных псевдоримановых однородных пространств как пар алгебр Ли. Для каждой такой пары вычисляем геодезические и когомологии (пакеты DifferentialGeometry, GroupActions, LieAlgebras, Tensor, LieAlgebraCohomology). Приведем пример для конкретной пары с таблицей умножения

[[e1,e2]=e2,[e1,e3]=-e3].

Сначала вычислим когомологии (функции RelativeChainsи Cohomology). Получим

 

C = { { }, {Θ3 }, { - Θ1 ˄ Θ2 }, { - Θ1 ˄ Θ2 ˄ Θ3 }, { } },  H = { {Θ3 }, { - Θ1 ˄ Θ2 }, { - Θ1 ˄ Θ2 ˄ Θ3 } }.

 

Умножение элемента группы с координатами [a1, a2, a3, a4] на элемент с координатами [x1, x2, x3, x4] (функция LeftMultiplication):

[x1=a1+x1e-a3; x2=a2+x2ea3; x3=x3+a3; x4=x4+a4].

Правоинвариантные векторные поля (функция LieAlgebraData):

[D_x1 ; D_x2 ; -x1 D_x1 + x2 D_x2 + D_x3 ; D_x4].

Обозначим многообразие Mи координаты [x, y, z] на M, действие группы Gна M:

[x=a1+xe-a3;y=a2+yea3;z=z+a4].

Локальное действие (InfinitesimalTransformation):

[D_x;D_y;-xD_x+yD_y;D_z].

Подалгебра, являющаясяалгебройЛистабилизатора(IsotropySubalgebra): [-xD_x+yD_y]. Тензор на группе Ли в виде левоинвариантной формы Мауэра-Картана (с точностью до константы)

dx1 dx2 +dx2 dx1 +bdx4 dx4.

Сведем этот инвариантный тензор (PushPullTensor) кинвариантной невырожденной метрике на M:

g=dxdy+dydx+bdzdz.

Вычислим алгебру Ли векторов Киллинга (KillingVectors) - полную алгебру инфинитеземальных изометрий метрики:

[-zD_x+yD_z/b;D_z/b;-zD_y+xD_z/b;xD_x-yD_y;D_x;D_y].

Вычислим символы Кристоффеля (Christoffel): C=0, кривизну (CurvatureTensor): R=0. Вычислим первую ковариантную производную кривизны (CovariantDerivative), чтобы убедиться, метрика постоянной кривизны, метрика является конформно плоской (CottonTensor), тензор кручения (TorsionTensor) нулевой.

Пусть найдена линейная связность на M. Если [x(t); y(t); z(t)] - кривая на M, тогда уравнения геодезических относительно связности – это система второго порядка ОДУ. Найдем вектор (GeodesicEquations), компоненты которого – уравнения на геодезические:

{d2/dt2x(t);d2/dt2y(t);d2/dt2z(t)}.

Решив эту систему 2 ОДУ второго порядка (dsolve) получаемгеодезические:

{x(t)=C5 t+C6;y(t)=C3 t+C4;z(t)=C1 t+C2}

Также библиотека plots системы Maple предоставляет возможности построения трехмерной динамической компьютерной модели геодезических, оснащенной динамическим цифровым, языковым и графическим сопровождением.

Список использованных источников
  1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М., 1989. – 472 с.
Тип выступления  Публикация
Презентация доклада  Загрузить
Ключевые слова  геодезическая, когомологии, однородное пространство, группа преобразований, псевдориманово мноообразие

В статусе «Черновик» Вы можете производить с тезисами любые действия.

В статусе «Отправлено в Оргкомитет» тезисы проходят проверку в Оргкомитете. Статус «Черновик» может быть возвращен тезисам либо если есть замечания рецензента, либо тезисы превышают требуемый объем, либо по запросу участника.

В статусе «Рекомендован к публикации» тезис публикуется на сайте. Статус «Черновик» может быть возвращен либо по запросу участника, либо при неоплате публикации, если она предусмотрена, либо если тезисы превышают требуемый объем.

Статус «Опубликован» означает, что издана бумажная версия тезиса и тезис изменить нельзя. В некоторых крайне редких ситуацих участник может договориться с Оргкомитетом о переводе тезисов в статус «Черновик».

Статус «Отклонен» означает, что по ряду причин, которые указаны в комментариях к тезису, Оргкомитет не может принять тезисы к публикации. Из отклоненных тезис в «Черновики» может вернуть только Председатель программного или председатель оргкомитета.